1.2 Resuelve integrales indefinidas mediante métodos de integración.

Solución por cambio de variable o

sustitución.

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable

solución por partes.

Un tutorial de como realizar soluciones de integrales por partes

El método de integración por partes permite calcular la integral de un producto de dos funciones aplicando la fórmula:

Las funciones logarítmicas, "arcos" y polinómicas se eligen como u.

Las funciones exponenciales y trígonométricas del tipo seno y coseno, se eligen como v'.

Solución por fracciones parciales.

El método de las fracciones parciales consiste en reducir un cociente de polinomios en fracciones más simples, que permitan obtener de manera inmediata una integral o una transformada de Laplace Inversa. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el grado del numerador.
Definimos fracciones parciales a la función F(x) en la cual dicha función depende de un numerador y un denominador. Para que sea una fracción parcial el grado del denominador tiene que ser mayor al grado del numerador.

Las integrales por fracciones parciales es de la forma  
donde:
* P(x) y Q(x) son polinómios
* El grado de P(x) es menor que el de Q(x)
NOTA
* Las fracciones parciales se utilizan para ayudar a descomponer expresiones racionales y obtener sumas de expresiones más simples.
* En álgebra, fracción parcial, descomposición o extensión parcial de la fracción se utiliza para reducir el grado de el numerador o el denominador de a función racional. El resultado de la extensión parcial de la fracción expresa esa función como la suma de las fracciones, donde:
- El denominador de cada término es irreducible (no factorizable) polinómico y,
- El numerador es un polinomio de un grado más pequeño que ese polinomio irreducible.

casos:

Caso II (Factores Lineales Repetidos)


Suponga que el primer factor lineal (a1x + b1) se repite r veces; es decir, (a1x + b1)r aparece en la factorización de Q(x). Por lo tanto en lugar del término simple   en (1) ,se usaria.

Caso III (Factores Cuadráticos Irreducibles)

Si Q(x) tiene un factor de la forma ax2 + bx + c, donde b2 − 4ac < 0 (esto nos dice que no se puede expresar ax2 + bx + c como la multimplicacion de dos fatores lineales pues la solución de la cuadratica es compleja) además de las fracciones parciales de (1) y (2) entonces la expresión para  tendria un termino de la forma.

Caso IV (Factor Cuadrático Irreducible repetido)

Si Q(x) tiene un factor de la forma (ax2 + bx + c)r, donde b2 − 4ac < 0, luego en lugar de la única fracción parcial escribimos la suma.



Caso V (Fracción Impropia)

Si  es una fracción impropia (es decir, el grado de P(x) es mayor o igual que el de Q(x) entonces dividir P(x) por Q(x) para obtener

Donde el grado de P1(x) es menor que el grado de Q(x)

 Cálculo de ecuación diferencial

Una ecuación diferencial es una ecuación que incluye expresiones o términos que involucran a una función matemática incógnita y sus derivadas. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales son:

• La expresión   es una ecuación en derivadas parciales.

A la variable dependiente también se le llama función incógnita (desconocida). La resolución de ecuaciones diferenciales es un tipo de problema matemático que consiste en buscar una función que cumpla una determinada ecuación diferencial. Se puede llevar a cabo mediante un método específico para la ecuación diferencial en cuestión o mediante una transformada (como, por ejemplo, la transformada de Laplace).

1.1 Cálculo de anti derivadas mediante fórmulas inmediatas de integración.

Determinación de diferenciales.

El cálculo diferencial es una parte del análisis de expresión oral que consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objeto del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.


Interpretación gráfica de la diferencial de la variable dependiente

Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entredós cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial.

Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc.

Incrementos: cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial.

Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo Dx, que se lee “delta x”.

El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro.

por ejemplo:

Si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento Dx = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positiva mente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, Dx = x2 - x1 = 3 - 7 = −4

La variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.

Derivada de una función:

Sea f una función definida en todo número de algún intervalo I, la derivada de f es aquella función, denotada por f ‘, tal que su valor en cualquier número x de I, está dado por:

Se dice que una función es diferenciable o derivable cuando es posible hallar su derivada.

Definición de la diferencial de la
variable dependiente e independiente

La variable independiente es aquella propiedad, cualidad o característica de una realidad, evento o fenómeno, que tiene la capacidad para influir, incidir o afectar a otras variables. Se llama independiente,  porque esta variable no depende de otros factores para estar presente en esa realidad en estudio.

Algunos ejemplos de variables independientes son; el sexo, la raza, la edad, entre otros. Veamos un ejemplo de hipótesis donde está presente la variable independiente: “Los niños que hacen tres años de educación preescolar, aprenden a leer mas rápido en primer grado.” En este caso la variable independiente es “hacen tres años de educación preescolar.”
 Porque para que los niños de primer grado aprendan a leer más rápido, depende de que hagan tres años de educación preescolar.

La variable dependiente: es aquella característica, propiedad  o cualidad de una realidad o evento que estamos investigando.
 Es el objeto de estudio, sobre la cual se centra la investigación en general. También la variable independiente es manipulada por el investigador, porque el investigador el puede variar los factores para determinar el comportamiento de la variable.

Por ejemplo: “Los niños que hacen tres años de educación preescolar, aprenden a leer mas rápido en primer grado.”

En este caso la variable dependiente sería “aprenden a leer mas rápido”, pero aprenden a leer mas rápido como consecuencia de que “hacen tres año de educación preescolar”.
Por esta razón  se recomienda  que en el título de un trabajo siempre debe aparecer la variable dependiente, pues está es el objeto de estudio.

También existen variables independientes en algunos estudios que hasta cierto punto dependerán de “algo”, como en el ejemplo  siguiente: “Los ingresos económicos de un hospital público  puede depender de la asignación en el presupuesto nacional del país.”
Como podemos observar el objeto de estudio no está influyendo en la variable independiente. De este modo, la variable independiente en un estudio se cree que está influyendo en la variable dependiente, el estudio Correlacional se centra precisamente en esa relación.

Reglas de diferenciación.

1) Derivada de una constante: 

(c) = 0

2) Derivada de una potencia: 

[ xn ] = nxn-1 ( n racional)

3) Regla del múltiplo constante: 

[ c f(x) ] = c f ´(x)

4) Derivada de una suma o resta :

[ f(x) ± g(x) ] = f ´(x) ± g ´(x)

5) Derivada de un producto:

[ f(x) • g(x) ] = f(x) g ´(x)+ g(x) f ´(x)

6) Derivada de un cociente:

[ f(x) / g(x) ] =

7) Derivadas de funciones trigonométricas:

[sen x] = cos x

[cos x] = -sen x

[tan x] = sec2 x

[sec x] = sec x tan x

[csc x] = -csc x cot x

[cot x] = -csc2 x

8) Regla en cadena: Si y = f(u) es una función diferenciable en u y u = f(x) es una función diferenciable en x, entonces:

[f ( g(x) )] = f ´(g(x)) g´ (x)

o = •

9) Regla general de las potencias:

 [ un] = n un-1 • u´

( u es una función diferenciable en x y n es un número racional )

Cálculo de Anti derivadas.

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.



Regla de anti derivación para potencias.

Fórmulas de integrales inmediatas.

Se denominan integrales inmediatas a aquellas que no requieren ningún método para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de la función que se ha derivado. La fórmula anterior permite reinterpretar la lista de integrales inmediatas haciendo actuar las funciones elementales sobre funciones cualesquiera. Se obtiene así la siguiente lista:

Temario

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                    "Temario"



1.1 Cálculo de anti derivadas mediante fórmulas inmediatas de integración.

A).- Determinación de diferenciales.

* Interpretación gráfica de la diferencial de la variable dependiente.

*Definición de la diferencial de la variable dependiente e independiente.

*Reglas de diferenciación.

B).- Cálculo de Anti derivadas.

*Definición

* Regla de anti derivación para

Potencias.

* Fórmulas de integrales inmediatas.

-Algebraicas.

-Logarítmicas

-Exponenciales

-Trigonométricas.

* Solución de problemas

1.2 Resuelve integrales indefinidas mediante métodos de integración.

A).- Solución por cambio de variable o
sustitución.

* Algebraicas.
* Trigonométricas.
* Exponenciales.
* Logarítmicas.

B).- Solución por partes.

*Fórmula.
* Aplicación.

C).- Solución por fracciones parciales.

* Casos.
* Aplicación.

D).- Solución por sustitución trigonométrica.

* Casos.
* Aplicación.

E).- Solución por tablas.

* Trigonométricas.
* Algebraicas.
* Logarítmicas.
* Exponenciales.
* Irracionales.

F).- Cálculo de ecuación diferencial

* De variables separables
* Resolución de problemas aplicados en diferentes contextos.
- Ciencias e ingeniería.
- Economía y administración

2.1 Cálculo de integrales definidas mediante fórmulas directas y métodos.

A).- Determinación de la integral definida.

* Notación de sumatoria.
* Suma de Riemann
* Concepto de integral definida en un intervalo.
* Propiedades.

B).- Aplicación del Teorema fundamental del cálculo.

* Definición.
* Fórmulas directas
* Cálculo de integrales definidas por métodos.
* Por cambio de variable.
- Por partes.
- Por fracciones parciales

2.2 Cálculo de áreas mediante integrales definidas

A).- Cálculo de áreas de figuras planas.

* Con una función.
- Sobre el eje x.
- Bajo el eje x.
- Entre el eje x.
* Con dos y tres funciones.
- Sobre y debajo del eje x.
- Entre el eje x.
- Por la derecha del eje y.
- Entre el eje y
- Entre dos gráficas
- Entre tres gráficas.

B).- Resolución de problemas aplicados en diferentes contextos:

* Ciencias e ingeniería.
* Economía y administración