Determinación de la integral definida.
Un tutorial de la integral definida.
El Cálculo no sólo es un instrumento técnico, sino que contiene una colección de ideas fascinadoras y atrayentes que han ocupado el pensamiento humano durante siglos. Estas ideas están relacionadas con velocidad, área, volumen, razón de crecimiento, tangente a una línea, etc.
Esta disciplina surgió de la necesidad de una herramienta que permitiera abordar los problemas que preocupaba a la ciencia en el siglo XVII, y que podemos englobar en dos grandes grupos:
El primer grupo incluye problemas físicos, en especial los relacionados con el cálculo de velocidades en un movimiento, junto a problemas geométricos de determinación de tangentes, máximos y mínimos, etc. Este conjunto de problemas condujo a una rama del Cálculo que recibe el nombre de Cálculo diferencial.
El segundo grupo abarca una serie de problemas físicos asociados al cálculo del espacio recorrido en un movimiento, así como problemas geométricos de obtención del área de una figura curvilínea. Este conjunto de problemas llevó a otra rama del Cálculo llamada Cálculo integral.
Notación de sumatoria
Los números cuya suma se indica en una notación sigma pueden ser naturales, complejos u objetos matemáticos más complicados. Si la suma tiene un número infinito de términos, se conoce como serie infinita.
Dada una sucesión:
Ésta se puede representar como la suma de los primeros términos con la notación de sumatoria o notación sigma.
El nombre de esta notación se denomina de la letra griega
(sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ).
La notación sigma es de la siguiente manera:
El nombre de esta notación se denomina de la letra griega
(sigma mayúscula, que corresponde a nuesta S de "suma" ).
La notación sigma es de la siguiente manera:
La suma de los primeros pares
impares
Suma de Riemann
En matemáticas, la suma de Riemann es un método de integración numérica que nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible utilizar el Teorema fundamental del cálculo. Estas sumas toman su nombre del matemático alemán Bernhard Riemann.
La suma de Riemann consiste básicamente en trazar un número finito de rectangulos dentro de un área irregular, calcular el área de cada uno de los rectangulos y sumarlos. El problema de este método de integración numérica es que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.
Propiedades de de integrales definidas
Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual al área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x = b.
La integral definida se representa por 
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de la función.
Aplicación del Teorema fundamental del cálculo
El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo.
El teorema es fundamental porque hasta entonces el cálculo aproximado de áreas -integrales- en el que se venía trabajando desde Arquímedes, era una rama de las matemáticas que se seguía por separado al cálculo diferencial que se venía desarrollando por Isaac Newton, Isaac Barrow y Gottfried Leibniz en el siglo XVIII y dio lugar a conceptos como el de las derivadas. Las integrales eran investigadas como formas de estudiar áreas y volúmenes, hasta que en ese punto de la historia ambas ramas convergieron, al demostrarse que el estudio del "área bajo una función" estaba íntimamente vinculado al cálculo diferencial, resultando la integración, la operación inversa a la derivación.
Una consecuencia directa de este teorema es la regla de Barrow, denominada en ocasiones segundo teorema fundamental del cálculo, y que permite calcular la integral de una función utilizando la integral indefinida de la función al ser integrada.
Cálculo de integrales definidas por métodos
La técnica más básica para calcular integrales de una variable real se basa en el teorema fundamental del cálculo. Se procede de la siguiente forma:
1. Se escoge una función f(x) y un intervalo [a, b].
2. Se halla una primitiva de f, es decir, una función F tal que F' = f.
3. Se emplea el teorema fundamental del cálculo, suponiendo que ni el integrando ni la integral tienen singularidades en el camino de integración,
4. Por tanto, el valor de la integral es F(b) − F(a).
Nótese que la integral no es realmente la primitiva, sino que el teorema fundamental permite emplear las primitivas para evaluar las integrales definidas.
Por cambio de variable
Por partes
Por fracciones parciales
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