1.1 Cálculo de anti derivadas mediante fórmulas inmediatas de integración.

Determinación de diferenciales.

El cálculo diferencial es una parte del análisis de expresión oral que consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objeto del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada. Una noción estrechamente relacionada es la de diferencial de una función.


Interpretación gráfica de la diferencial de la variable dependiente

Cuando surgen cuestiones concernientes a la razón entredós cantidades variables, entramos en los dominios del Cálculo Diferencial.

Son por tanto objeto de estudio del cálculo diferencial temas como la velocidad (razón entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla) de una partícula en un momento determinado, la pendiente (razón entre la diferencia de las ordenadas y las abscisas de dos puntos en el plano cartesiano) de la recta tangente a una gráfica en un punto dado de ésta, etc.

Incrementos: cuando una cantidad variable pasa de un valor inicial a otro valor, se dice que ha tenido un incremento. Para calcular este incremento basta con hallar la diferencia entre el valor final y el inicial.

Para denotar esta diferencia se utiliza el símbolo Dx, que se lee “delta x”.

El incremento puede ser positivo o negativo, dependiendo de si la variable aumenta o disminuye al pasar de un valor a otro.

por ejemplo:

Si el valor inicial de una variable x, x1, es igual a 3, y el valor final x2 es igual a 7, el incremento Dx = x2 - x1 = 7 - 3 = 4: la variable se ha incrementado positiva mente en 4 unidades. En cambio, si el valor inicial es 7 y el valor final 3, Dx = x2 - x1 = 3 - 7 = −4

La variable ha tenido un incremento negativo (decremento) de 4 unidades.

Derivada de una función:

Sea f una función definida en todo número de algún intervalo I, la derivada de f es aquella función, denotada por f ‘, tal que su valor en cualquier número x de I, está dado por:

Se dice que una función es diferenciable o derivable cuando es posible hallar su derivada.

Definición de la diferencial de la
variable dependiente e independiente

La variable independiente es aquella propiedad, cualidad o característica de una realidad, evento o fenómeno, que tiene la capacidad para influir, incidir o afectar a otras variables. Se llama independiente,  porque esta variable no depende de otros factores para estar presente en esa realidad en estudio.

Algunos ejemplos de variables independientes son; el sexo, la raza, la edad, entre otros. Veamos un ejemplo de hipótesis donde está presente la variable independiente: “Los niños que hacen tres años de educación preescolar, aprenden a leer mas rápido en primer grado.” En este caso la variable independiente es “hacen tres años de educación preescolar.”
 Porque para que los niños de primer grado aprendan a leer más rápido, depende de que hagan tres años de educación preescolar.

La variable dependiente: es aquella característica, propiedad  o cualidad de una realidad o evento que estamos investigando.
 Es el objeto de estudio, sobre la cual se centra la investigación en general. También la variable independiente es manipulada por el investigador, porque el investigador el puede variar los factores para determinar el comportamiento de la variable.

Por ejemplo: “Los niños que hacen tres años de educación preescolar, aprenden a leer mas rápido en primer grado.”

En este caso la variable dependiente sería “aprenden a leer mas rápido”, pero aprenden a leer mas rápido como consecuencia de que “hacen tres año de educación preescolar”.
Por esta razón  se recomienda  que en el título de un trabajo siempre debe aparecer la variable dependiente, pues está es el objeto de estudio.

También existen variables independientes en algunos estudios que hasta cierto punto dependerán de “algo”, como en el ejemplo  siguiente: “Los ingresos económicos de un hospital público  puede depender de la asignación en el presupuesto nacional del país.”
Como podemos observar el objeto de estudio no está influyendo en la variable independiente. De este modo, la variable independiente en un estudio se cree que está influyendo en la variable dependiente, el estudio Correlacional se centra precisamente en esa relación.

Reglas de diferenciación.

1) Derivada de una constante: 

(c) = 0

2) Derivada de una potencia: 

[ xn ] = nxn-1 ( n racional)

3) Regla del múltiplo constante: 

[ c f(x) ] = c f ´(x)

4) Derivada de una suma o resta :

[ f(x) ± g(x) ] = f ´(x) ± g ´(x)

5) Derivada de un producto:

[ f(x) • g(x) ] = f(x) g ´(x)+ g(x) f ´(x)

6) Derivada de un cociente:

[ f(x) / g(x) ] =

7) Derivadas de funciones trigonométricas:

[sen x] = cos x

[cos x] = -sen x

[tan x] = sec2 x

[sec x] = sec x tan x

[csc x] = -csc x cot x

[cot x] = -csc2 x

8) Regla en cadena: Si y = f(u) es una función diferenciable en u y u = f(x) es una función diferenciable en x, entonces:

[f ( g(x) )] = f ´(g(x)) g´ (x)

o = •

9) Regla general de las potencias:

 [ un] = n un-1 • u´

( u es una función diferenciable en x y n es un número racional )

Cálculo de Anti derivadas.

La anti derivada es la función que resulta del proceso inverso de la derivación, es decir, consiste en encontrar una función que, al ser derivada produce la función dada.

Por ejemplo:

Si f(x) = 3×2, entonces, F(x) = x3, es una antiderivada de f(x). Observe que no existe una derivada única para cada función. Por ejemplo, si G(x) = x3+ 5, entonces es otra antiderivada de f(x).

La antiderivada también se conoce como la primitiva o la integral indefinida se expresa de la siguiente manera: en donde: f(x) es el integrando; dx, la variable de integración o diferencial de x y C es la constante de integración.



Regla de anti derivación para potencias.

Fórmulas de integrales inmediatas.

Se denominan integrales inmediatas a aquellas que no requieren ningún método para encontrar una primitiva sino el simple reconocimiento de la función que se ha derivado. La fórmula anterior permite reinterpretar la lista de integrales inmediatas haciendo actuar las funciones elementales sobre funciones cualesquiera. Se obtiene así la siguiente lista: